Phương pháp áp dụngTa biến đổi đẳng thức vectơ đến trước về dạng: $overrightarrow OM $ = $vec v$, trong số ấy điểm O thắt chặt và cố định và vectơ $vec v$ vẫn biết.

Bạn đang xem: Tìm tập hợp điểm m thỏa mãn đẳng thức vectơ, tập hợp điểm thỏa mãn với đẳng thức vecto


Thí dụ 1:
Cho ΔABC đầy đủ nội tiếp mặt đường tròn trung ương O.a. Chứng minh rằng $overrightarrow OA + overrightarrow OB + overrightarrow OC = overrightarrow 0 $.b. Hãy xác định các điểm M, N, phường sao cho:$overrightarrow OM $ = $overrightarrow OA + overrightarrow OB $; $overrightarrow ON $ = $overrightarrow OB + overrightarrow OC $; $overrightarrow OP $ = $overrightarrow OC + overrightarrow OA $.
a. Vì chưng ΔABC đều cần O chính là trọng chổ chính giữa ΔABC, cho nên ta gồm ngay:$overrightarrow OA + overrightarrow OB + overrightarrow OC = overrightarrow 0 $.b. Hotline A1, B1, C1 theo máy tự là trung điểm của BC, AC, AB.
*

Kẻ Ax // BC.Kẻ Cy // AB.Giao của Ax cùng Cy chính là điểm M yêu cầu tìm.Thí dụ 3:
Cho ΔABC đều, nội tiếp mặt đường tròn trung tâm O.a. Hãy khẳng định các điểm M, N, p. Sao cho:$overrightarrow OM $ = $overrightarrow OA $ + $overrightarrow OB $, $overrightarrow ON $ = $overrightarrow OB $ + $overrightarrow OC $, $overrightarrow OP $ = $overrightarrow OC $ + $overrightarrow OA $.b. Minh chứng rằng $overrightarrow OA $ + $overrightarrow OB $ + $overrightarrow OC $ = $overrightarrow 0 $.
*

Với điểm M thoả mãn: $overrightarrow OM $ = $overrightarrow OA $ + $overrightarrow OB $⇒ M là đỉnh thứ bốn của hình bình hành AOBM⇒ centimet là 2 lần bán kính của (O), vì chưng ΔABC đều.Với điểm N thoả mãn: $overrightarrow ON $ = $overrightarrow OB $ + $overrightarrow OC $ ⇒ N là đỉnh thứ bốn của hình bình hành BOCN⇒ AN là 2 lần bán kính của (O), vị ΔABC đều.Với điểm p thoả mãn: $overrightarrow OP $ = $overrightarrow OC $ + $overrightarrow OA $ ⇒ p là đỉnh thứ tứ của hình bình hành AOCP⇒ BP là 2 lần bán kính của (O), vị ΔABC đều.Vậy, những điểm M, N, p nằm trên đường tròn (O) thế nào cho CM, AN, BP là những đường kính của con đường tròn (O).b. Dựa vào tác dụng câu a) cùng $overrightarrow OC $ = $overrightarrow MO $, ta bao gồm ngay:$overrightarrow OA $ + $overrightarrow OB $ + $overrightarrow OC $ = $overrightarrow OM $ + $overrightarrow MO $ = $overrightarrow MO $ + $overrightarrow OM $ = $overrightarrow MM $ = $overrightarrow 0 $.Thí dụ 4:
Cho ΔABC.a. Tìm kiếm điểm I làm sao để cho $overrightarrow IA $ + 2$overrightarrow IB $ = $vec 0$.b. Tra cứu điểm K làm sao cho $overrightarrow KA $ + 2$overrightarrow KB $ = $overrightarrow CB $.c. Tra cứu điểm M sao cho $overrightarrow MA $ + $overrightarrow MB $ + 2$overrightarrow MC $ = $vec 0$.
a. Ta trở thành đổi: $vec 0$ = $overrightarrow IA $ + 2$(overrightarrow IA + overrightarrow AB )$ = 3$overrightarrow IA $ + 2$overrightarrow AB $⇔ $overrightarrow IA $ = - $frac23overrightarrow AB $, suy ra điểm I được trọn vẹn xác định.b. Ta vươn lên là đổi: $vec 0$ = $overrightarrow KA $ + $overrightarrow KB $ + ($overrightarrow KB $ + $overrightarrow BC $) = $overrightarrow KA $ + $overrightarrow KB $ + $overrightarrow KC $⇔ K là trung tâm ΔABC.c. Hotline E, F, N là trung điểm AB, BC, EF, ta có:$vec 0$ = ($overrightarrow MA $ + $overrightarrow MC $) + ($overrightarrow MB $ + $overrightarrow MC $) = 2$overrightarrow ME $ + 2$overrightarrow MF $ = 4$overrightarrow MN $ ⇔ M ≡ N.Thí dụ 5:
mang lại trước nhì điểm A, B và hai số thực α, β bằng lòng α + β ≠ 0.a. Chứng minh rằng tồn tại tuyệt nhất điểm I chấp nhận α$overrightarrow IA $ + β$overrightarrow IB $ = $vec 0$.b. Trường đoản cú đó, suy ra với điểm ngẫu nhiên M, ta luôn luôn có:α$overrightarrow MA $ + β$overrightarrow MB $ = (α + β)$overrightarrow MI $.
a. Ta có:α$overrightarrow IA $ + β$overrightarrow IB $ = $vec 0$ ⇔ α$overrightarrow IA $ + β($overrightarrow IA $ + $overrightarrow AB $) = $vec 0$ ⇔ (α + β)$overrightarrow IA $ + β$overrightarrow AB $ = $vec 0$⇔ (α + β)$overrightarrow AI $ = β$overrightarrow AB $⇔$overrightarrow AI $ = $fraceta alpha + eta $$overrightarrow AB $.Vì A, B cố định và thắt chặt nên vectơ $fraceta alpha + eta $$overrightarrow AB $ không đổi, cho nên tồn tại nhất điểm I thoả mãn điều kiện đầu bài.b. Ta có:α$overrightarrow MA $ + β$overrightarrow MB $ = α($overrightarrow MI $ + $overrightarrow IA $) + β($overrightarrow MI $ + $overrightarrow IB $) = (α + β)$overrightarrow MI $ + (α$overrightarrow IA $ + β$overrightarrow IB $) = (α + β)$overrightarrow MI $, đpcm.Nhận xét quan liêu trọng:1. Nếu α = β = 1 thì điểm I đó là trung điểm của AB
.2. Việc trên được mở rộng thoải mái và tự nhiên cho tía điểm A, B, C với bộ bố số thực α, β, γ cho trước nhất trí α + β + γ ≠ 0, tức là:
a. Tồn tại tốt nhất điểm I thoả mãn: α$overrightarrow IA $ + β$overrightarrow IB $ + γ$overrightarrow IC $ = $vec 0$.​
b. Từ đó suy ra cùng với điểm bất kỳ M, ta luôn luôn có α$overrightarrow MA $ + β$overrightarrow MB $ + γ$overrightarrow IC $ = (α + β + γ)$overrightarrow MI $.​
3. Việc mở rộng cho n điểm
A$_i$, i = $overline 1,n $ và bộ n số thực αi, i = $overline 1,n $ bằng lòng $sumlimits_i = 1^n alpha _i $≠ 0, xin dành cho bạn đọc.4. Tác dụng trên được sử dụng để giải bài xích toán:“ cho n điểm A$_i$, i = $overline 1,n $ và cỗ n số thực αi, $overline 1,n $ ưng ý $sumlimits_i = 1^n alpha _i $≠ 0. Tìm kiếm số thực k và điểm thắt chặt và cố định I làm sao cho đẳng thức vectơ $sumlimits_i = 1^n alpha _ioverrightarrow MA_i $ = k$overrightarrow MI $, (1)thoả mãn với tất cả điểm M. ”Phương pháp giảiVì (1) thoả mãn với mọi điểm M, cho nên vì vậy đúng cùng với M ≡ I, khi đó:$sumlimits_i = 1^n alpha _ioverrightarrow IA_i $ = k$overrightarrow II $ = $vec 0$. (2)Xác định được điểm I trường đoản cú (2).Từ (2), suy ra: $sumlimits_i = 1^n alpha _ioverrightarrow MA_i $ = $sumlimits_i = 1^n alpha _i $$overrightarrow MI $. (3)Từ (1) và (3), suy ra: $sumlimits_i = 1^n alpha _i $$overrightarrow MI $ = k$overrightarrow MI $ ⇔ k = $sumlimits_i = 1^n alpha _i $.Thí dụ 6: mang lại tứ giác ABCD, M là điểm tuỳ ý. Trong những trường hợp hãy kiếm tìm số k cùng điểm thắt chặt và cố định I, J, K làm sao cho các đẳng thức vectơ sau thoả mãn với tất cả điểm M.a. 2$overrightarrow MA $ + $overrightarrow MB $ = k$overrightarrow MI $.b. $overrightarrow MA $ + $overrightarrow MB $ + 2$overrightarrow MC $ = k$overrightarrow MJ $.c. $overrightarrow MA $ + $overrightarrow MB $ + $overrightarrow MC $ + 3$overrightarrow MD $ = k$overrightarrow MK $.

Xem thêm: Những Bài Học Tiếng Anh Theo Chủ Đề Cần Biết Để Giao Tiếp Tốt


a. Vì (1) thoả mãn với tất cả điểm M, cho nên đúng với M ≡ I, lúc đó:2$overrightarrow IA $ + $overrightarrow IB $ = k$overrightarrow II $ = $vec 0$. (1.1)Từ (1.1), ta được: 2$overrightarrow IA $ + ($overrightarrow IA $ + $overrightarrow AB $) = $vec 0$ ⇔ $overrightarrow IA $ = -$frac13$$overrightarrow AB $ ⇒ khẳng định được điểm I.Từ (1.1), ta được: 2$overrightarrow MA $ + $overrightarrow MB $ = (2 + 1)$overrightarrow MI $ = 3$overrightarrow MI $. (1.2)Từ (1) cùng (1.2), suy ra: 3$overrightarrow MI $ = k$overrightarrow MI $ ⇔ k = 3.b. Do (2) thoả mãn với tất cả điểm M, cho nên vì vậy đúng với M ≡ J, lúc đó:$overrightarrow JA $ + $overrightarrow JB $ + 2$overrightarrow JC $ = k$overrightarrow JJ $ = $vec 0$. (2.1)Gọi E là trung điểm AB, từ bỏ (2.1), ta được: 2$overrightarrow JE $ + 2$overrightarrow JC $ = $vec 0$ ⇔ J là trung điểm của CE.Từ (2.1), ta được: $overrightarrow MA $ + $overrightarrow MB $ + 2$overrightarrow MC $ = (1 + 1 + 2)$overrightarrow MJ $ = 4$overrightarrow MJ $ (2.2)Từ (2) với (2.2), suy ra: 4$overrightarrow MJ $ = k$overrightarrow MJ $ ⇔ k = 4.c. Vị (3) thoả mãn với tất cả điểm M, cho nên đúng cùng với M ≡ K, lúc đó: $overrightarrow KA $ + $overrightarrow KB $ + $overrightarrow KC $ + 3$overrightarrow KD $ = k$overrightarrow KK $ = $vec 0$. (3.1) gọi G là trung tâm ΔABC, từ bỏ (3.1), ta được: 3$overrightarrow KG $ + 3$overrightarrow KD $ = $vec 0$ ⇔ K là trung điểm của GD.Từ (3.1), ta được: $overrightarrow MA $ + $overrightarrow MB $ + $overrightarrow MC $ + 3$overrightarrow MD $ = 6$overrightarrow MK $. (3.2)Từ (3) với (3.2), suy ra: 6$overrightarrow MK $ = k$overrightarrow MK $ ⇔ k = 6.Chú ý:
việc tìm điểm hoàn toàn có thể được không ngừng mở rộng thành câu hỏi tìm tập vừa lòng điểm (quĩ tích). Với những bài toán quĩ tích ta bắt buộc nhớ rằng:1. Nếu |$overrightarrow MA $| = |$overrightarrow MB $|, cùng với A, B đến trước thì M thuộc đường trung trực của đoạn AB.2. |$overrightarrow MC $| = k|$overrightarrow AB $|, với A, B, C mang lại trước thì M thuộc mặt đường tròn tâm C, bán kính bằng k.AB.3. Ví như $overrightarrow MA $ = k$overrightarrow BC $, với A, B, C mang lại trước thìa. Cùng với k ∈ (mathbbR) điểm M thuộc đường thẳng qua A song song cùng với BC.b. Với k ∈ (mathbbR)+ điểm M thuộc nửa con đường thẳng qua A tuy nhiên song với BC theo phía $overrightarrow BC $.c. Cùng với k ∈ (mathbbR)- điểm M ở trong nửa con đường thẳng qua A tuy nhiên song cùng với BC ngược phía $overrightarrow BC $. tỉ dụ 7: Cho ΔABC, kiếm tìm tập hợp phần lớn điểm M thoả mãn:a. $overrightarrow MA $ + k$overrightarrow MB $ - k$overrightarrow MC $ = $overrightarrow 0 $. (1)b. (1 - k)$overrightarrow MA $ + $overrightarrow MB $ - k$overrightarrow MC $ = $overrightarrow 0 $. (2)
a. Ta chuyển đổi (1) về dạng: $overrightarrow MA $ = k($overrightarrow MC $ - $overrightarrow MB $) ⇔ $overrightarrow MA $ = k$overrightarrow BC $⇔ M thuộc đường thẳng qua A tuy nhiên song cùng với BC.b. Ta biến đổi (2) về dạng: $overrightarrow MA $ + $overrightarrow MB $ - k($overrightarrow MA $ + $overrightarrow MC $) = $overrightarrow 0 $. (3)Gọi E, F theo trang bị tự là trung điểm của AB và AC, ta được:(3) ⇔ 2$overrightarrow ME $ - 2k$overrightarrow MF $ = $overrightarrow 0 $ ⇔ $overrightarrow ME $ = k$overrightarrow MF $⇔ M thuộc con đường trung bình EF của ΔABC.