Tương giao đồ thị

Biết đường thẳng

*
cắt đồ thị hàm số
*
tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ lần lượt là
*
. Hãy tính tổng
*
.

Bạn đang xem: Tương giao đồ thị

A. 2.

B. 1.

C. 5.

D. 3.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm

*

*

Hoành độ giao điểm A, B của 2 đồ thị là nghiệm của phương trình (1) nên theo định lí Viet có

*
.

Chọn C.

Ví dụ 1.2 (THPT Thường Tín – Hà Nội 2017)

Gọi M, N là giao điểm của đường thẳng

*
và đường cong
*
. Khi đó hoành độ trung điểm I của đoạn thẳng MN bằng

A.

*
.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm

*

Khi đó hoành độ trung điểm I của đoạn MN là

*
.

Chọn B.

Ví dụ 1.3:Tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số

*
và đường thẳng
*

A.

*
.

B.

*
.

C.

*
.

D.

*
.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm

*

*
là giao điểm của hai đồ thị.

Chọn A.

Ví dụ 1.4 (THPT Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An 2017 Lần 3)

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng

*
cắt đồ thị của hàm số
*
tại hai điểm phân biệt.

A.

*
\cup \text{ }\!\!<\!\!\text{ }16;+\infty )" />.

B.

*
.

C.

*
.

D.

*
.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm

*

Yêu cầu bài toán⇔Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác

*

*
0\\m{{(-1)}^{2}}+m(-1)+4\ne 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m\in (-\infty ;0)\cup (16;+\infty )\\4\ne 0\end{array} \right.\Leftrightarrow m\in (-\infty ;0)\cup (16;+\infty )" />

Chọn B.

Ví dụ 1.5:Tất cả các giá trị của m để đường thẳng

*
cắt đồ thị hàm số
*
tại hai điểm phân biệt
*
sao cho
*

A.

*
.

B.

*
.

C.

*
.

D.

*
.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm:

*

Hai đồ thị hàm số cắt nhau tại 2 điểm phân biệt⇔Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác

*
là 2 giao điểm, với
*
là nghiệm của phương trình (1). Khi đó theo định lí Viet có
*

Theo giả thiết

*

*

*
(thỏa mãn điều kiện (*)).

Chọn A.

Ví dụ 1.6 (THPT Chuyên Thái Nguyên 2017 Lần 2)

Tìm m để đường thẳng

*
cắt đồ thị hàm số
*
tại hai điểm phân biệt
*
sao cho AB ngắn nhất.

A.

*
.

B.

*
.

C.

*
.

D.

*
.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm:

*

Ta có

*
0,\,\,\forall m\in \mathbb{R}\\{{2.0}^{2}}-(2m-1).0-1\ne 0,\forall m\end{array} \right." />

Do đó đường thẳng d luôn cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt.

Gọi hai giao điểm là

*
.

Khi đó theo định lí Viet có

*

Ta có

*

Do đó

*
khi
*
.

Chọn A.

Ví dụ 1.7 (THPT Anh Sơn 2 – Nghệ An 2017 Lần 3)

Cho hàm số

*
. Tìm tất cả các giá trị của m để d đi qua
*
có hệ số góc m cắt (C) tại 2 điểm thuộc 2 nhánh của đồ thị.

A.

*
.

B.

*
0" />.

C.

Xem thêm: Thêm Dần Clo Vào Dung Dịch Ki Có Chứa Sẵn Một Ít Hồ Tinh Bột

*
và có hệ số góc m là
*
.

Phương trình hoành độ giao điểm:

*

Đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

*
thỏa mãn
*
0\\m.g(2)0\\-5m0" />

Vậy chọn B.

Ví dụ 1.8:Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng

*
cắt đồ thị hàm số
*
tạo hai điểm phân biệt
*
sao cho
*
với I là tâm đối xứng của (C).

A.

*
.

B.

*
.

C.

*
.

D.

*
.

Lời giải:

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là

*
và có tiệm cận ngang là
*
.

Do đó tâm đối xứng của đồ thị là

*
.

Ta có

*

Phương trình hoành độ giao điểm

*

Giả sử

*
là hai giao điểm.

Theo định lí Viet có

*

Ta có

*

Diện tích tam giác IMN là:

*

*
=64\Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}{{(m-1)}^{2}}=4\\{{(m-1)}^{2}}=-16\end{array} \right.\Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}m=3\\m=-1\end{array} \right." />

Chọn A.

Dạng 2: Tương giao giữa đồ thị của hàm bậc ba

*
và đường thẳng
*

Ví dụ 2.1:Số giao điểm của đường cong

*
và đường thẳng
*
bằng

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 0.

Lời giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

*
.

Vậy đường cong và đường đường thẳng có 1 giao điểm.

Chọn A.

Ví dụ 2.2 (Đề minh họa lần 1)

Biết rằng đường thẳng

*
cắt đồ thị hàm số
*
tại điểm duy nhất, kí hiệu
*
là tọa độ của điểm đó. Tìm
*
.

A.

*
.

B.

*
.

C.

*
.

D.

*
.

Lời giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

*

*
là giao điểm của hai đồ thị
*
.

Chọn đáp án C.

Ví dụ 2.3:Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng

*
cắt đồ thị hàm số
*
tại ba điểm phân biệt.

A.

*
-3" />.

B.

*

Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt⇔Phương trình

*
có 2 nghiệm phân biệt khác 0
*
0\Leftrightarrow m>-3" />
.Chọn A.

Ví dụ 2.4:Cho hàm số

*
. Tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm là

A.

*
.

B.

*
.

C.

*
.

D.

*
.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm:

*
\!\!\text{ }=0\\\Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}x=-1\\{{x}^{2}}-(m+4)x+3(m+1)=0\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\end{array} \right.\end{array}" />

Yêu cầu bài

*
có 2 nghiệm âm phân biệt khác
*

*
0\\-\frac{b}{a}=m+40\\{{(-1)}^{2}}-(m+4)(-1)+3(m+1)\ne 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m\ne 2\\m-1\\m\ne -2\end{array} \right.\Leftrightarrow m\in \varnothing " />.

Chọn đáp án A.

Ví dụ 2.5:Cho hàm số

*
có đồ thị
*
và đường thẳng d qua
*
và có hệ số góc m. Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d cắt
*
tại 3 điểm phân biệt có hoành độ
*
thỏa mãn
*
.

A.

*
.

B.

*
.

C.

*
và có hệ số góc m là
*

Phương trình hoành độ giao điểm:

*

*

Hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm phân biệt

*
có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

*
0\\1-2-2-m\ne 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3+m>0\\-3-m\ne 0\end{array} \right.\Leftrightarrow m>-3" />

Gọi

*
là 3 nghiệm của phương trình (1).

Theo định lí Viet ta có

*

Ta có

*

Vậy

*
.Chọn A.

Ví dụ 2.6 (Sở GD Bắc Giang 2017 Lần 2)

Cho hàm số

*
và đường thẳng
*
. Tìm các giá trị thực của m để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt
*
sao cho
*
*
với O là gốc tọa độ.